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张量通俗入门

（如果图片或者公式挂了，请参考CSDN博客

1 张量​

张量就是一组有序数。

或者说，张量就是一组有序数的表现方式，或者说是记号。比如向量是一种表现方式，矩阵是一种表现方式，张量同样也是一种表现方式。它本质就是一组有序的数字而已。

值得指出的是，张量是比向量和矩阵更高级的记号。它向下包含了向量和矩阵。凡是向量和矩阵能表示的，张量都能更简洁地表示。

在很多地方，我们不提是几阶张量，就默认是2阶。

（在数学上，张量也是一种向量，也是一种矩阵。通俗来讲，其实三者都是一回事，只不过记号不同，是西红柿和番茄的区别。）

1.1 为什么张量记号简便​

为什么要用张量记号，说起来，无非是简便。当然，熟悉了之后，还可以将知识抽象到更高层次。

为什么会简便？

比如应力记号σ\sigma 如果写成矩阵就是

σ=(σxxσxyσxzσyxσyyσyzσzxσzyσzz)\mathbf{\sigma} = \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} &\sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} &\sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} &\sigma_{zz} \\ \end{pmatrix}

在这里插入图片描述 （图片引自wiki）

这样写有两个缺点：

  1. x y z这样的下标记号太费字母了。 假如有四个分量呢？取mnkl?五个呢？六个呢？那26个英文字母都取完了。
  2. 写成矩阵太占地方了，一下子就要写9个分量。

第一点好办，无非是符号问题，干脆全换成1，2，3。反正数字用不完。 于是就变成了

σ=(σ11σ12σ13σ21σ22σ23σ31σ32σ33)\mathbf{\sigma} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} &\sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} &\sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} &\sigma_{33} \\ \end{pmatrix}

第二点怎么办呢？ 我们发现，无非是123这三个数在变来变去，干脆直接用i=1,2,3和j=1,2,3来代替吧！

于是就写成了

σij\sigma_{ij}

其中i=1,2,3；j=1,2,3

于是只用这一个记号，就代表了9个分量的矩阵。

1.1.1 用张量记号简写求偏导​

额外要提醒的一点是：张量也可以简写求偏导操作。 例如

(∂ϕ∂x,∂ϕ∂y,∂ϕ∂z)(\frac{\partial \phi }{\partial x} ,\frac{\partial \phi }{\partial y} ,\frac{\partial \phi }{\partial z} )

就可以简写为

∂ϕ∂xi\frac{\partial \phi}{\partial x_i}

我们还可以更简洁一点，连求导符号和分式也省去了，写成

ϕ,i\phi_{,i}

你看，就一个逗号，就代表了对三个分量分别求偏导。

1.2 张量的阶​

标量是0阶张量 矢量是1阶张量 2阶张量可用矩阵表示 此外，常见的还有4阶张量，也可用矩阵表示

什么是张量的阶呢？就是自由下标的个数。

例如

xix_i

是1阶张量，因为i=1,2,3i=1,2,3， 它就有3个分量。（在力学中，它可以代表位置）

σij\sigma_{ij}

是2阶张量，因为i=1,2,3;j=1,2,3i=1,2,3; j=1,2,3 ，它就有9个分量。（在力学中，它可以代表应力）

c_{mnkl} $$是4阶张量，因为$m=1,2,3; n=1,2,3; k=1,2,3; l=1,2,3$，它就有3\*3\*3\*3=81个分量。（在力学中，它可以代表刚度矩阵） 像这种能够自由变换的下标，叫自由下标。它不一定是1，2，3；也可以是x、y、z。只是一种用来区分不同的记号罢了。 ### 1.3 张量的运算规则 我们为标量定义了加、减、乘、除，这是标量的运算规则。 向量也有加、减、乘（有许多种乘），也是其运算规则。 矩阵也有加、减、乘和取逆，也是其运算规则。 张量同理。 张量有加、减、乘（有许多种乘）。 乘有三种： 1. 点乘 2. 叉乘 3. 并乘 #### 1.3.1 爱因斯坦求和约定与哑标 刚才说了自由下标，与之对应的，就是哑标。哑标是会被消掉的。 爱因斯坦在推导相对论的时候，为了记号方便，就发明了张量表示法。他又发现经常会有相同下标求和的情况发生，于是规定：**凡是在一项内有相同下标出现的，一律默认求和。** 写起来，就是这样

x_iy_i=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3

其实说来，就是省略了一个求和的$\Sigma$ 如果不省略，就是

\sum_i x_iy_i=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3

#### 1.3.2 张量的加减 加减很简单，对应的分量加减即可。 例如

x_i +y_i= \begin{pmatrix} x_1+y_1\ x_2+y_2\ x_3+y_3 \end{pmatrix}

#### 1.3.3 张量的点乘(dot product) 首先说明， ==点乘是降阶的。== 这一点要牢记。 那么降低多少呢？ 假如a有4阶，b有2阶，那么a点乘b得到的就是4-2=2阶 假如a有2阶，b有1阶，那么a点乘b得到的就是2-1=1阶（矩阵乘向量） 假如a有2阶，b有2阶，那么a点乘b得到的就是2-2=0阶（矩阵乘矩阵） 假如a有1阶，b有1阶，那么a点乘b得到的就是1-1=0阶（向量乘向量） 所以我们还明白了：==点乘结果的阶数就是阶数大的减去阶数小的。== 例如

c{mnkl} \epsilon{kl}=\sigma_{mn}

你看，左边的kl重复了，所以满足爱因斯坦求和约定，自动求和，变成了哑标，即你看，左边的kl重复了，所以满足爱因斯坦求和约定，自动求和，变成了哑标，即

\sumk\sum_lc{mnkl} \epsilon_{kl}

这个求和以后，就只剩下两个自由下标了。所以就变成了2阶张量。 ##### 1.3.3.2 二阶张量的双点积 向量（也就是一阶张量）的点乘都写成一个点的点积。 而二阶张量的点乘都写成两个点的点积。如

\mathbf{a}:\mathbf{b}

这里我没有写下标。a和b都代表二阶张量。假如写上下标这里我没有写下标。a和b都代表二阶张量。假如写上下标

a{ij}b{ij}

你就会发现，ij都是哑标，直接就加没了。所以两个2阶张量点乘的结果是0阶张量，即一个数，或者说是标量。为什么要写两个点呢？这是因为有两个下标被爱因斯坦求和约定给求和了，同时∗∗它又是两个二阶的张量相乘，所以就写成两个点∗∗。双点积应该很常见，因为它其实就是两个矩阵对应分量一对一的相乘。假如写成矩阵形式的话，你就会发现，ij都是哑标，直接就加没了。所以两个2阶张量点乘的结果是0阶张量，即一个数，或者说是标量。 为什么要写两个点呢？这是因为有两个下标被爱因斯坦求和约定给求和了，同时**它又是两个二阶的张量相乘，所以就写成两个点**。 双点积应该很常见，因为它其实就是两个矩阵对应分量一对一的相乘。 假如写成矩阵形式的话，

\begin{matrix} a:b & = \ \begin{pmatrix} a{11} & a{12} & a{13} \ a{21} & a{22} & a{23}\ a{31} & a{32} & a{33} \end{pmatrix}: \begin{pmatrix} b{11} & b{12} & b{13} \ b{21} & b{22} & b{23}\ b{31} & b{32} & b{33} \end{pmatrix} &= \ \begin{pmatrix} a{11}b{11} & a{12}b{12} & a{13}b{13} \ a{21}b{21} & a{22}b{22} & a{23}b{23} \ a{31}b{31} & a{32}b{32} & a{33}b{33} \end{pmatrix} \end{matrix}

##### 1.3.3.3 张量的缩并(tensor contraction) 上面提到了，点乘是降阶的，所以又叫缩并。就是把张量并排放到一起后，哑标给消掉了。 （待补充） #### 1.3.4 并乘(dyadic product)/张量积(tensor product) ==并乘是升阶的。== 那么升多少呢？ ==并乘结果的阶数就是阶数大的加上阶数小的。== 这里和点乘就只有一字之差：“加”和“减”。

\mathbf{a} \otimes \mathbf{b} =a_ib_j

并乘除了写圈圈里面一个叉子，还可以什么都不写，就紧贴着。并乘除了写圈圈里面一个叉子，还可以什么都不写，就紧贴着。

\mathbf{a}\mathbf{b} =a_ib_j

可以想象，i和j都是自由下标，结果为2阶张量，所以这其实是9个分量可以想象，i和j都是自由下标，结果为2阶张量，所以这其实是9个分量

\left(\begin{array}{l} a{1} \ a{2} \ a{3} \end{array}\right)\left(\begin{array}{lll} b{1} & b{2} & b{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll} a{1} b{1} & a{1} b{2} & a{1} b{3} \ a{2} b{1} & a{2} b{2} & a{2} b{3} \ a{3} b{1} & a{3} b{2} & a{3} b{3} \end{array}\right)

向量并乘又被称为**外积(outer product)**（与内积相对应） 矩阵并乘又被称为**克罗内克积(kronecker product)** 张量的并乘又被称为**直积(direct product)**，或者就叫**张量积（tensor product)**。 (PS 张量积这种说法比较普遍) (待补充） #### 1.3.5 张量的叉乘(cross product) ==叉乘是不升不降的。== 例如向量的叉乘

\mathbf{ej}\times \mathbf{e_k}=e{ijk}\mathbf{e_i}

\mathbf{a}\times \mathbf{b}=e_{ijk}a_j b_k \mathbf{e_i}

这里$\mathbf{e_i}$代表坐标轴的单位向量 $e_{ijk}$叫做置换符号(又叫Racci符号）

e_{i j k}=\left{\begin{array}{c} 1 & ijk两个相同\ -1 & ijk正序轮换： 123，231，312\ 0 & ijk逆序轮换： 132，321，213 \end{array}\right.

### 1.4 克罗内克三角（Kronecker delta） 克罗内克三角（Kronecker delta），或者叫克罗内克函数 它是一个二阶张量

\delta_{i j}= \begin{cases}0 & \text { if } i \neq j \ 1 & \text { if } i=j\end{cases}

可见，它其实就是单位阵。可用克罗内克三角来化简许多运算他有一条很好的∗∗性质∗∗，那就是他能换下标比如可见，它其实就是单位阵。 可用克罗内克三角来化简许多运算 他有一条很好的**性质**，那就是他能换下标 比如

a{i}\delta{ij}=a_j

其实这个换了相当于没换，因为只有一个下标。假如有两个，那就有区别了其实这个换了相当于没换，因为只有一个下标。假如有两个，那就有区别了

a{i}b_j\delta{ij}=a_ib_i

可见后面那个$\delta$把b的下标j换成了下标i ### 1.5 张量的几何解释：线性变换 （此节内容来自A brief on tensor analysis） 我们都知道，矩阵的几何含义是对任意向量v进行线性变换。 张量其实也是一种线性变换（我们这里指的是二阶张量）。 说矩阵是一种线性变换，这种说法其实不严谨。应该说：**矩阵左乘**是一种线性变化，即

\mathbf{A}\mathbf{v} \hspace{0.2in} \forall \mathbf{v}

(这里黑体，表示用的是向量记号，没有用张量记号；张量记号是不需要黑体的，只需要加下标) 向量$\mathbf{v}$的任意性表示了主体在于A 同理，不能说二阶张量本身是一种线性变换，而应该说：二阶张量(点乘/叉乘/并乘）分别是一种线性变化。即

\mathbf{p}\cdot \mathbf{v} \hspace{0.2in} \forall \mathbf{v}

\mathbf{p}\times \mathbf{v} \hspace{0.2in} \forall \mathbf{v}

\mathbf{p} \mathbf{v} \hspace{0.2in} \forall \mathbf{v}

（待完善） ### 1.6 张量的梯度散度和旋度 ### 1.6.1 散度 对一个二阶张量来说

\begin{matrix} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma}&\ =\left[\begin{array}{lll} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} \sigma{x x} & \sigma{x y} & \sigma{x z} \ \sigma{y x} & \sigma{y y} & \sigma{y z} \ \sigma{z x} & \sigma{z y} & \sigma_{z z} \end{array}\right]&\ =\left[\begin{array}{c} \frac{\partial \sigma{x x}}{\partial x}+\frac{\partial \sigma{y x}}{\partial y}+\frac{\partial \sigma{z x}}{\partial z} \ \frac{\partial \sigma{x y}}{\partial x}+\frac{\partial \sigma{y y}}{\partial y}+\frac{\partial \sigma{z y}}{\partial z} \ \frac{\partial \sigma{x z}}{\partial x}+\frac{\partial \sigma{y z}}{\partial y}+\frac{\partial \sigma_{z z}}{\partial z} \end{array}\right]^T&\ =\frac{\partial \sigma{j i}}{\partial x{j}} \end{matrix}

故张量的散度就是一个向量（一阶张量）。 ### 1.6.2 梯度 ### 1.7 张量的高斯定理 ----- 参考 1. https://zhuanlan.zhihu.com/p/139105732 2. https://zhuanlan.zhihu.com/p/62612523 3. https://zhuanlan.zhihu.com/p/56850779 4. http://fdjpkc.fudan.edu.cn/d201354/15048/list.htm 5. https://www.jianshu.com/p/b7391573a9fd 6. https://zhuanlan.zhihu.com/p/83101486